8. Por ejemplo, si tomamos las semejanzas del plano w1, w2 y w3 y tomamos B como un cuadrado…
9. Usando semejanzas contractivas se pueden obtener (casi) todos los fractales clásicos que hemos visto... ¿se pueden generar otros objetos más complejos? Para ello debemos afinar nuestras herramientas definiendo algo más general que las semejanzas contractivas. (Barnsley, 1985) …en la práctica, serán aplicaciones de la forma
10. Aplicaciones contractivas Una aplicación f:RnRn es una semejanza contractiva si d( f(x) , f(y) )=r d( x , y ), con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la semejanza). Una aplicación f:RnRn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y ), con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la contracción). Aplicación contractiva = transformación que acerca puntos
11.
12. Hay muchas más aplicaciones contractivas, como por ejemplo,
14. Sistema de funciones iteradas Si tomamos unas funciones contractivas S={ g1 ,g2 ,…, gm}, (un sistema de funciones iteradas o SFI), siempre existe un únicoconjunto F tal que F se llama atractor del sistema S. F es “autosemejante” según las transformaciones S
15. Idea de la demostración Partimos de unas funciones contractivasS={ g1 ,g2 , …, gm }. Si Consideramos S: H(R2) H(R2 ) definida como Un conjunto que contiene su frontera y está contenido en un cubo S: H(R2) H(R2 ) es una aplicación contractiva, es decir para cualesquiera A,B en H(R2). Por el teorema del punto fijo, existe F (único) tal que F=S(F).
16. Obtención del atractor de un SFI Si tenemos un sistema de funciones iteradas S={ g1 ,g2 , …, gm }. ¿cómo calcular el conjunto F tal que ? Método Determinista: Tomamos un compacto B y construimos Tomando límites cuando n tiende a infinito, Es decir partiendo de cualquier B, llegamos al atractor F
17. Obtención del atractor de un SFI Método Aleatorio: Si S={g1, g2, …, gm}, tomamos xo (cualquiera). Elegimos al azar A continuación, elegimos al azar construyendo una sucesión de puntos (xn) que cumple que Repitiendo con otros (muchos) xo, obtenemos una aproximación de F
18. Aproximación de Objetos mediante SFI Si C es un objeto, ¿existe un fractal Fque se parezca a C? Matemáticamente, si C es un compacto, ¿existe fractal F tal que dH(C,F) es pequeña? Sabemos crear fractales (con SFI), ¿podemos adivinar si se parecerán a C?
19. Teorema del Collage Si tenemos un compactoC y aplicaciones contractivas S={ g1 ,g2 ,…, gm}, de razones de contraccion r1,r2,..rm, de forma que entonces, donde F es el fractal asociado a S (el atractor) y Si C se parece a S(C), entonces C se parece a F
20. Idea de la demostración Si tenemos S={g1, g2, …, gm} y C es un compacto construimos Entonces, Si n tiende a infinito,
21. ¿cómo emplear este resultado? Si queremos aproximar un compacto C empleando que En la práctica buscamos S={g1, g2, …, gm} tales que g1, g2, …, gm sean contracciones afines. C se parezca a S(C). g1, g2, …, gm sean de razón pequeña. …veamos algún ejemplo…
24. Ejemplo: Aproximación de una hoja ..construyendo contracciones afines… con la siguiente tabla de datos… …ya podemos generar resultados con Maple, por ejemplo…
31. Mediante SFIs se pueden aproximar muchos objetos (no necesariamente fractales) de forma simple.
32.
33. M. de Guzmán, M.A.Martín, M.Morán y M.Reyes. “Estructuras fractales y sus aplicaciones”. Editorial Labor(Muy claro, completo y con lenguaje divulgativo).
